ONDALIK KESİRLER

 ONDALIK KESİR 

 ONDALIK KESİR NASIL YAZILIR?

Virgüllü olarak yazılabilen yada paydası 10 sayısının kuvvetleri şekline dönüştürülebilen sayılara ondalık kesir yada ondalık sayı denir. Ondalıklı sayıyı kesir sayısı olarak yazmak için, sayının tamamı paya yazılır, virgülden sonra sağda kaç tane sayı varsa, kesrimizin paydasına 1 sayısının yanına  o kadar sıfır ilave edilir yani payda 10 sayısının kuvvetleri şekline dönüştürülür.Ondalıklı kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken virgüller alt alta getirilir.

 Daha sonra bildiğimiz toplama ve çıkarma işlemi yapılır. Ondalıklı kesirlerde çarpma işlemi

aynen yapılır virgüllerin sağında kaç tane sayı varsa sonuçtaki sayıdan sola doğru o kadar

sayılır ve virgül araya konur. Ondalıklı kesirlerde bölme işlemi yaparken normal kesire dönüştürüp işlemi kesirlerdeki gibi yaparız. 

ÖRNEK

23,456 = 23456/1000
1,4 + 3,5 = 4,9
74,8 - 2,5 = 72,3
5,1 . 2,8 = 14,28
3,2 : 1,3 = 32/10 : 13/10 = 32/13

TANIMLAR
a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı kesir denir.

Burada a ya tam kısmı, bcd ye de kesir kısmı denir.
Her doğal sayının ondalık kesir kısmı sıfırdır.
5,0 ; 175,0 ; 1453,0

ONDALIK KESİRLERDE ÇÖZÜMLEME
Bir ondalık kesri basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade etmeye ondalık kesri çözümleme denir.

ONDALIK KESİRLERDE DÖRT İŞLEM
1. Toplama - Çıkarma : Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
2. Çarpma : Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
3. Bölme : Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR
Bir rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

· Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.
· Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.
· Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir.
0,333… gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.)

DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME
Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağıdaki yol takip edilir.

· Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.”
· Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır.

Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir.

Paydası 10 un bir kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı sıfır devredenli bir ondalık açılıma sahiptir.

Örnek:

4,33333………

x=4,3333……. diyoruz.

Eşitliğin her iki tarafını sadece 1 sayı devrettiği için 10 ile çarpıyoruz.

10x=43,3333…….

Alt alta çıkarıyoruz.

10x=43,3333….

    x=  4,3333….

9x=39

x=39/9 oda x=13/3 çıkar.

Örnek:

0,4949………

x=0,4949……. diyoruz.

Eşitliğin her iki tarafını 2 sayı devrettiği için 100 ile çarpıyoruz.

100x=49,4949…….

Alt alta çıkarıyoruz.

100x=49,4949….

    x=  0,4949….

99x=49

x=49/99 çıkar.
 

ONDALIK KESİRLERDE SIRALAMA
Ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken, soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır.
Bu karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir, diğerlerinden büyük olur.

BİR ONDALIK KESRİ VERİLEN BİR BASAMAĞA GÖRE YUVARLAK YAPMA
Bir ondalık kesri, kendisine eşit olarak alınabilecek yaklaşık değerlerle ifade etmeye yuvarlak yapma denir. Yaklaşık ifade etme sembolü » şeklindedir.
Bir ondalık kesri, verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için, bu basamağın sağındaki rakama bakılır. Rakamın sayı değeri;
· 5 ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve sağındaki basamaklar atılır.
· 5 ve 5 ten büyük ise, verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır ve sağındaki basamaklar atılır.

KESİRLERE GİRİŞ

KESİRLER

RASYONEL SAYILAR

BÜTÜN : Parçalanmamış eksiksiz olan her şeye bütün denir.

KESİR KAVRAMI NEDİR?
 Bir bütünün eş parçalarından bir veya bir kaçına bütünün kesri veya bütünün parçası denir. 

 KESİR SAYISI:  Bir bütünün eş parçalarından birini veya bir kaçını gösteren sayıya kesir sayısı denir. 

PAY NEDİR? 

 Bir bütünün eş parçalarından kaç tanesinin alındığını gösteren sayıya pay denir. 

PAYDA NEDİR? 

 Bir bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösteren sayıya payda denir.

KESİR ÇİZGİSİ  (BÖLÜ ÇİZGİSİ):  

Pay ile Payda arasındaki çizgiye Kesir veya bölü çizgisi denir. 

     

KESİR SAYILARININ OKUNUŞU:  

1) Paydan paydaya doğru okumak: Önce pay ve sonrada payda okunur.

2) Paydadan paya doğru okumak: Önce payda ve sonrada pay okunur.

3)Tam sayılı kesirleri okumak: 

a) Tamsayı, pay ve payda okunur. 

b)  Tamsayı, payda ve pay okunur. 

EŞ PARÇALARA AYRILMIŞ BİR ŞEMAYI KESİR SAYISI İLE GÖSTERME:

  Şema kaç eşit parçaya ayrılmışsa, bu parçaların sayısı paydaya ve şemada kaç eş parça alınmış ise alınan parçaların sayısı da paya yazılır. 

KESİR SAYILARINI ŞEMA İLE GÖSTERME:  

Bütün paydadaki sayı kadar eş parçalara ayrılır. Bu parçalardan pay kısmındaki sayı kadar parça da taranır. 

KESİR ÇEŞİTLERİ VE DÖNÜŞÜMLERİ

KESİR ÇEŞİTLERİ 

A) BASİT KESİR:
Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesire basit kesir denir. 

KESİR BİRİMİ:  

 Payı bir olan kesirlere kesir birimi veya Birim kesir de denir. Birim kesir aynı zamanda basit kesirdir. 

B)BİLEŞİK KESİR:

     Payı paydasından mutlak değerce büyük ya da payı paydasına mutlak değerce eşit olan kesire bileşik kesir denir.

C)TAM SAYILI KESİR: 

 Önünde tamsayı olan kesire tam sayılı kesir denir. Bir tamsayı ile birlikte yazılan kesirlere tam sayılı kesir denir.

KESİRLERDE ÇEVİRME İŞLEMLERİ 

 1) TAM SAYILI KESRİ BİLEŞİK KESRE ÇEVİRME 

     Tam sayılı kesrin paydası ile tam kısmı çarpılır. Çarpım kesrin payı toplanır. Toplam paya yazılır. Payda aynı kalır. 

2) BİLEŞİK KESRİ TAM SAYILI KESRE ÇEVİRME

  Bileşik kesrin payı paydasına bölünür. Bölüm tam sayı, kalan pay ve bölen payda olarak yazılır. 

KESİRLERİ GENİŞLETME VE SADELEŞTİRME

 1) a / b Kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir ‘’k’’ tamsayısı ile çarpılmasına kesri genişletme denir.  

 2) a / b Kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir ‘’k’’ tamsayısı ile bölünmesine kesri sadeleştirme denir.  

KESİRLERDE SADELEŞTİRME

KESİRLERDE GENİŞLETME

TAM SAYILI KESİRLERDE GENİŞLETME VE SADELEŞTİRME 

Kesrin tam kısmı sabit kalır,pay ve paydası üzerinde ilem yapılır.

DENK KESİRLER VE KESİRLERİN SAYI DOĞRUSU ÜZERİNDE GÖSTERİMİ

DENK KESİRLER

Bir bütünün aynı büyüklükteki bölümlerini (parçalarını) gösteren kesirlere denk kesirler denir.   Sayı doğrusu üzerindeki her denk kesir yalnız bir nokta ile eşleşir. Birbirine denk olan kesirler sayı doğrusu üzerinde yalnız bir nokta ile gösterilir. Bu kesir sayısına denk kesirlerin temsilcisi denir. Denklik “ =   ” işaretiyle gösterilir.

YARIM: Bir bütünün 2 eşit parçasından her birine yarım denir. Yarımı ifade eden kesir 
 1  / 2  dir.

KESİRLERİ SAYI DOĞRUSU ÜZERİNDE GÖSTERME 

 Sayı doğrusu üzerindeki 0 ile -1 ,-1 ile -2 ,…. Ve 0 ile 1,1 ile 2,…. Arası kesrin paydası kadar eş parçaya bölünür. Sayı doğrusu üzerinde Kesrin yönü hangi tarafa ise, kesrin payı kadar eş parça sayılarak işaretlenir. 

TAM SAYILI KESİRLERİN SAYI DOĞRUSUNDA                                                GÖSTERME

  Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilerek sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. 

KESİRLERDE DÖRT İŞLEM

KESİRLERDE DÖRT İŞLEM

TOPLAMA İŞLEMİ

  a)Paydası eşit olan kesir sayılarının toplama işlemi:    Paylar toplanır, toplam paya yazılır. Ortak paydalardan biri  paydaya yazılır.   Tam sayılı kesirler toplanırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir veya Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmeden de toplama işlemi yapılabilir.  

b)Paydası eşit olmayan kesir sayılarının toplama işlemi:  
  Paydalar en küçük ortak katta (EKOK) eşitlenir.Paylar toplanır, toplam paya yazılır. Ortak paydalardan biri  paydaya yazılır.   Tam sayılı kesirler toplanırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir veya Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmeden de toplama işlemi yapılabilir.

  

ÇIKARMA İŞLEMİ

 a)Paydası eşit olan kesir sayılarının çıkarma işlemi: 
   Paylar çıkarılır, fark paya yazılır. Ortak paydalardan biri  paydaya yazılır.   Tam sayılı kesirler çıkarılırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir veya Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmeden de çıkarma işlemi yapılabilir. 

b)Paydası eşit olmayan kesir sayılarının çıkarma işlemi:  
  Paydalar en küçük ortak katta (EKOK) eşitlenir. Paylar çıkarılır, fark paya yazılır. Ortak paydalardan biri  paydaya yazılır.   Tam sayılı kesirler çıkarılırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir veya Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmeden de çıkarma işlemi yapılabilir.

ÇARPMA İŞLEMİ

   Tam sayılı kesirler çarpılırken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir. Pay pay ile çarpılır, çarpım paya yazılır. Payda payda ile çarpılır, çarpım paydaya yazılır. 

BÖLME İŞLEMİ

  Tam sayılı kesirler bölünürken, bu kesirler bileşik kesre çevrilir. Birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilir (pay ile payda yer değiştirir) çarpılır. Pay pay ile çarpılır, çarpım paya yazılır. Payda payda ile çarpılır, çarpım paydaya yazılır.

KESİRLERDE SIRALAMA VE YÜZDE İŞLEMLERİNDE KULLANIMI

KESİRLERDE SIRALAMA

 1) PAYDASI EŞİT KESİRLERDE SIRALAMA
  Paydası eşit olan kesirlerde, payı büyük olan kesir diğer kesirlerden daha büyüktür. 

2) PAYI EŞİT KESİRLERDE SIRALAMA

 Payı eşit olan kesirlerde, paydası küçük olan kesir diğer kesirlerden daha büyüktür.  

3) PAYI VE PAYDASI FARKLI OLAN KESİRLERDE SIRALAMA

 Payı ve paydası farklı olan kesirlerde sıralama yapmak için ;

 A ) Payda eşitlenir. Payı büyük olan kesir diğer kesirlerden daha büyüktür.

 B) Pay eşitlenir. Paydası küçük olan kesir diğer kesirlerden daha büyüktür. 

TAM SAYILARDA SIRALAMA

KESİRLERİ YÜZDE OLARAK GÖSTERME

YÜZDE KAVRAMI

a) Bir rasyonel sayının (kesirli sayının) paydasının 10 ya da 10’nun katı olacak şekilde genişletilmesi veya sadeleştirilmesidir. 
b) Bir kesirli sayının paydasının 100 olacak şekilde genişletilmesine veya sadeleştirilmesine yüzde olarak gösterilmesi denir. ” %” Yüzde işaretidir. 

YÜZDE PAYIN HESAPLANMASI 

 Temel sayı ile yüzde oran çarpılır. 

YÜZDE ORANIN HESAPLANMASI  

Yüzde pay, temel sayıya bölünür. 

 TEMEL SAYININ HESAPLANMASI

,
  Yüzde pay, yüzde orana bölünür. 

BİR BÜTÜNÜN KESRİNİ BULMAK

  Bütün ile kesir çarpılır. Bütün kesrin paydasına bölünür. Bölüm kesrin payı ile çarpılır.

 KESRİ VERİLEN  BÜTÜNÜ BULMAK

  Sayı, kesir sayısına bölünür. Sayı kesrin payına bölünür. Bölüm kesrin paydası ile çarpılır.  

BİR BÜTÜNÜN KESRİNİN KESRİNİ BULMAK

  Kesirler çarpılır. Bütün, kesirlerin çarpımı ile  çarpılır. Bütün kesrin paydasına bölünür. Bölüm kesrin payı ile çarpılır. 

KESRİNİN KESRİ  VERİLEN  BÜTÜNÜ BULMAK 

 Kesirler çarpılır. Sayı, kesirlerin çarpımına bölünür. Birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır. Paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır.   Sayı kesrin payına bölünür. Bölüm kesrin paydası ile çarpılır.